Анотація

Розглянуто просторову задачу теорії пружності про розподіл напружень у трансверсально-ізотропному середовищі, яке містить таке саме включення, на межі розділу фаз. Дослідження показують, що на межі розділу напруження мають локальний характер і швидко згасають з віддаленням від поверхні включення.

У механіці деформованого твердого тіла важливе місце посідають просторові задачі теорії пружності й термопружності стосовно розподілу напружень в околі неоднорідностей, які мають конструктивні композити. Щодо міцності таких матеріалів, їхнє виробництво потребує інформації про досягнення компонентами напружень екстремальних значень у певних зонах (зонах руйнування). Таких екстремальних значень досягають, як правило, на межі розділу фаз.

Важлива проблема отримання достовірної інформації про розподіл напружень у матеріалах чи елементах конструкцій з урахуванням реальної картини міжфазної взаємодії, що пов’язано з використанням ефективних методів розв’язку просторових задач теорії пружності.

Дослідження просторових задач термопружності для однорідних ізотропних та анізотропних тіл у загальній постановці пов’язане з великими математичними труднощами через складність побудови розв’язку системи диференціальних рівнянь у частинних похідних, який задовольняє певні граничні умови.

Одним із ефективних методів розв’язку задач теорії пружності є метод Фур’є, який базується на представленні загальних розв’язків рівнянь рівноваги через потенціальні функції. Особливістю застосування методу Фур’є є використання різних представлень розв’язку рівнянь Ляме через гармонічні функції, що дає змогу шукати розв’язок у вигляді рядів.

Розглянуто задачу про розподіл напружень необмеженого трансверсально-ізотропного середовища, яке містить анізотропне, відносно механічних і теплових властивостей, включення у формі стиснутого сфероїда за лінійного одноосного нагріву. На межі розділу фаз пропонуються умови неідеального механічного і теплового контактів.

Розв’язок просторової задачі за заданих граничних умов на поверхні включення лінійного силового й температурного полів зводиться до розвинення шуканих потенціальних функцій у тригонометричні ряди за приєднаними функціями Лежандра першого і другого родів.

Задовольняючи граничні умови, отримуємо нескінченну систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів розкладу, яка має збіжний розв’язок.

Аналіз результатів дослідження показує, що на поверхні трансверсально-ізотропного середовища концентрація меридіальних і кругових напружень швидко згасає від стискальних до розтягувальних з переміщенням від полюса до екватора.